อะตอมของไฮโดรเจน คือ โปรตอน 1 ตัว กับ อิเล็กตรอน 1 ตัว
โปรตอนและอิเล็กตรอนมีแรงไฟฟ้าดึงดูดกัน ตรงข้ามกับอิเล็กตรอนสองตัวผลักกัน จากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันจะได้ว่า \[ -\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{r^2} = ma \] ในพิกัดเชิงขั้ว จะได้สมการเป็น \[ -\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 m} \frac{1}{r^2} e_r = \Big( \frac{d^2 r}{dt^2} - r\omega^2 \Big) e_r + \Big( r\frac{d^2 \theta}{dt^2} + 2 \frac{dr}{dt} \omega \Big) e_\theta \] โดย \(m\) เป็นมวลลดทอนของอิเล็กตรอนกับโปรตอน และสัมประสิทธิ์ \[ \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 m} \approx 253.2\ \mathrm{m^3/s^2} \] ได้ผลลัพธ์เป็น \[ r(\theta) = \frac{r_0 (1 + f)}{1 + f \cos\theta} \] \[ f = \frac{4 \pi \epsilon_0 m}{q^2} r_0^3 \omega_0^2 - 1 \]
หากพิจารณาตามกฎของนิวตัน จะได้ว่าอิเล็กตรอนมีวงโคจรที่คงที่รอบโปรตอนได้ที่รัศมีใดก็ได้
แต่ประจุที่มีความเร่ง \(a\) จะแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าออกด้วยกำลัง
\[ P_{rad} = \frac{q^2 a^2}{6\pi\epsilon_0 c^3} \]
ในกรณีที่อิเล็กตรอนเคลื่อนที่เป็นวงกลม ความเร่งจะเป็น
\[ ma = m r^2 \omega^2 = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 r} \]
พลังงานของระบบ
\[ E = \frac12 m r^2 \omega^2 - \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 r} = -\frac{q^2}{8\pi\epsilon_0 r} \]
เมื่อคิดอัตราการสูญเสียพลังงานเป็น
\[ P_{rad} = -\frac{dE}{dt} \]
แทนค่าจะได้
\[\begin{align}
\frac{q^2}{6\pi\epsilon_0 c^3} \Big( \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 m r^2} \Big)^2
&= -\frac{q^2}{8\pi\epsilon_0 r^2} \frac{dr}{dt} \\
\frac{dr}{dt} &= - \frac{4}{3c^3} \Big( \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 m r} \Big)^2 \\
\frac13 (r^3 - r_0^3) &= - \frac{4}{3c^3} \Big( \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 m} \Big)^2 t_{\mathrm{fall}} \\
r_0^3 &= \frac{4}{c^3} \Big( \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 m r} \Big)^2 t_{\mathrm{fall}} \\
t_{\mathrm{fall}} &= \frac14 \Big( \frac{4\pi\epsilon_0 m}{q^2} \Big)^2 c^3 r_0^3
\end{align}\]
ด้วยอัตรานี้ อิเล็กตรอนที่รัศมี 1 nm จะชนกับโปรตอนในเวลา
\[ t_{\mathrm{fall}} \approx \frac14 \frac{ (0.3 \ \mathrm{Gm/s})^3 (1 \ \mathrm{nm})^3}{(253.2 \ \mathrm{m^3/s^2})^2} \approx 105 \ \mathrm{ns} \]
หรือที่รัศมี 1 um จะเป็น 105 s
หรือที่รัศมีจริงประมาณ 52.9 pm จะเป็น 15.6 ps
ซึ่งไม่สอดคล้องกับความเป็นจริงที่อะตอมยังคงรัศมีเท่าเดิมอยู่ได้
กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันและการแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้านั้นไม่ถูกต้องในกรณีนี้ ควรใช้สมการเชรอดิงเจอร์จึงจะสอดคล้องกับความเป็นจริง