พหุนามเลอจองด์
พหุนามเลอจองด์เป็นคำตอบของสมการเลอจองด์ (Legendre equation) \[ (1-x^2)\frac{d}{dx}\Big( (1-x^2) \frac{dy}{dx} \Big) - (1-x^2) C y - m^2 y = 0 \] โดย \(-1 \leq x \leq 1 \)
กรณีพื้นฐาน \(m=0\) สมการลดรูปเหลือ \[ \frac{d}{dx}\Big( (1-x^2) \frac{dy}{dx} \Big) - Cy = 0 \] หรือ \[ (1-x^2) \frac{d^2y}{dx^2} - 2x \frac{dy}{dx} - Cy = 0 \] คำตอบอยู่ในรูปของพหุนาม \[ y = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \] อนุพันธ์ \[ \frac{dy}{dx} = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1} \] \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \sum_{n=2}^\infty n (n-1) a_n x^{n-2} \] แทนค่าลงในสมการจะได้ \[ \sum_{n=0}^\infty (n+1) (n+2) a_{n+2} x^n - \sum_{n=2}^\infty n (n-1) a_n x^n - \sum_{n=1}^\infty 2 n a_n x^n - \sum_{n=0}^\infty C a_n x^n = 0\] เนื่องจากอีกข้างหนึ่งของสมการเป็นศูนย์ สัมประสิทธิ์ทุกตัวต้องมีค่าเป็นศูนย์ \[\begin{align} 0 &= 2a_2 - Ca_0 \\ 0 &= 6a_3 - 2a_1 - Ca_1 \\ 0 &= (n+1)(n+2)a_{n+2} - (n(n-1) + 2n + C)a_n \end{align}\] นั่นคือ \[ a_{n+2} = \frac{n(n+1) + C}{(n+1)(n+2)} a_n \] เนื่องจากสัมประสิทธิ์ไม่ลดลงตาม \(n\) เงื่อนไขที่จะทำให้พหุนามลู่เข้าที่ \(x=1\) คือ \[ C = -l(l+1), l\in\mathbb{N} \] โดย \(l\) เป็นจำนวนนับ และ (\(a_0=0\) หรือ \(a_1=0\))
เขียนรูปคำตอบโดย \(a_0=1,a_1=0\) หรือ \(a_0=0,a_1=1\) ได้เป็น \[\begin{align} P_l(x) &= \sum_{n=0}^{l/2} \prod_{m=0}^{n-1} \frac{2m(2m+1) - l(l+1)}{(2m+1)(2m+2)} x^{2n} \\ P_0(x) &= 1 \\ P_1(x) &= x \\ P_2(x) &= 1 - 3x^2 \\ P_3(x) &= x - \frac53 x^3 \\ P_4(x) &= 1 - 10 x^2 + \frac{35}{3} x^4 \\ P_5(x) &= x - \frac{14}{3} x^2 + \frac{63}{15} x^5 \end{align}\]
กรณี \(m\neq 0\) จัดรูปสมการโดยแทนค่า \[ y := (1-x^2)^{m/2}g \] อนุพันธ์ \[ \frac{dy}{dx} = -mx (1-x^2)^{m/2-1} g + (1-x^2)^{m/2} \frac{dg}{dx} \] \[\begin{align} \frac{d}{dx} \Big( (1-x^2) \frac{dy}{dx} \Big) &= \frac{d}{dx} \Big( -mx (1-x^2)^{m/2} g + (1-x^2)^{m/2+1} \frac{dg}{dx}\Big) \\ &= - m (1-x^2)^{m/2} g + m^2 x^2 (1-x^2)^{m/2-1} g - mx (1-x^2)^{m/2} \frac{dg}{dx} \\ &\ - (m+2)x (1-x^2)^{m/2} \frac{dg}{dx} + (1-x^2)^{m/2+1} \frac{d^2 g}{dx^2} \\ &= (1-x^2)^{m/2} \Big(-m g + m^2 \frac{x^2}{1-x^2} g - 2(m+1)x\frac{dg}{dx} + (1-x^2) \frac{d^2 g}{dx^2} \Big) \end{align}\] แทนค่าลงไปในสมการจะได้ \[ 0 = -m g + m^2 \frac{x^2}{1-x^2} g - 2(m+1)x\frac{dg}{dx} + (1-x^2) \frac{d^2 g}{dx^2} + l(l+1) g - m^2\frac{1}{1-x^2} g \] จะได้สมการคล้ายกรณีพื้นฐาน แต่มีสัมประสิทธิ์ \(m+1\) เพิ่มเข้ามา \[ 0 = (1-x^2) \frac{d^2 g}{dx^2} - 2(m+1)x\frac{dg}{dx} + \big(l(l+1) - m(m+1)\big) g \] จากสมการกรณีพื้นฐาน \[ 0 = (1-x^2) \frac{d^2 P_l}{dx^2} - 2x \frac{d P_l}{dx} + l(l-1) P_l = 0 \] หากพิจารณาอนุพันธ์อันดับ \(m\) \[ \frac{d^m}{dx^m} (1-x^2) \frac{d^2 P_l}{dx^2} = (1-x^2) \frac{d^2 P_l^{(m)}}{dx^2} - 2mx \frac{d P_l^{(m)}}{dx} - m(m-1) P_l^{(m)} \] \[ \frac{d^m}{dx^m} 2x \frac{d P_l}{dx} = 2x \frac{d P_l^{(m)}}{dx} + 2m P_l^{(m)} \] จะได้ \[ 0 = (1-x^2) \frac{d^2 P_l^{(m)}}{dx^2} - 2(m+1)x \frac{d P_l^{(m)}}{dx} + \Big(l(l-1) - m(m+1)\Big) P_l^{(m)} = 0 \] เหมือนกับสมการของ \(g\) นั่นคือ \[ g(x) = P_l^{(m)}(x) = \frac{d^m}{dx^m} P_l(x) \] ดังนั้น คำตอบของกรณีทั่วไปเป็น \[ y = P_l^m(x) := (1-x^2)^{m/2}\frac{d^m}{dx^m} P_l(x) \]
คำตอบสำหรับ l เป็น 0 ถึง 4
| l\m | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 0 | \(1\) | - | - | - | - |
| 1 | \(x\) | \(\sqrt{1-x^2}\) | - | - | - |
| 2 | \(1 - 3x^2\) | \(x\sqrt{1-x^2}\) | \(1-x^2\) | - | - |
| 3 | \(x - \frac53 x^3\) | \((1-5x^2)\sqrt{1-x^2}\) | \(x(1-x^2)\) | \((1-x^2)^{3/2}\) | - |
| 4 | \(1 - 10 x^2 + \frac{35}{3} x^4\) | \((x - \frac73x^3)\sqrt{1-x^2}\) | \((1 - 7x^2)(1-x^2)\) | \(x(1-x^2)^{3/2}\) | \((1-x^2)^2\) |
พหุนามเลอจองด์เป็นส่วนหนึ่งของการสั่นทรงกลม \(Y_l^m(\theta,\phi)\) \[ l(l+1)Y_l^m = \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \Big( \sin\theta \frac{\partial Y_l^m}{\partial \theta} \Big) + \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{d^2 Y_l^m}{d\phi^2} \] จะได้คำตอบเป็น \[ Y_l^m(\theta,\phi) = \frac{N_l}{\sqrt{2\pi}} P_l^m(\cos\theta) e^{im\phi} \] โดย \(N_l\) เป็นค่าคงที่เพื่อให้เป็นฟังก์ชันปกติ \[ 1 = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi |Y_l^m(\theta,\phi)|^2 \sin\theta d\theta d\phi \] การสั่นทรงกลมอันดับที่ 0-4 เป็น
| l\m | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 0 | \(\sqrt{\frac{1}{4\pi}}\) | - | - | - | - |
| 1 | \(\sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cos\theta\) | \(\sqrt{\frac{3}{4\pi}} \sin\theta e^{i\phi} \) | - | - | - |
| 2 | \(\sqrt{\frac{5}{16\pi}} (3\cos^2\theta - 1)\) | \(\sqrt{\frac{15}{8\pi}} \cos\theta \sin\theta e^{i\phi} \) | \(\sqrt{\frac{15}{32\pi}} \sin^2\theta e^{i2\phi}\) | - | - |
| 3 | \( \sqrt{\frac{7}{16\pi}}(5\cos^3 \theta - 3\cos\theta)\) | \(\sqrt{\frac{21}{64\pi}}(5\cos^2\theta - 1) \sin\theta e^{i\phi}\) | \(\sqrt{\frac{105}{32\pi}} \cos\theta \sin^2\theta e^{i2\phi}\) | \(\sqrt{\frac{35}{64\pi}} \sin^3\theta e^{i3\phi}\) | - |
| 4 | \(\frac38\sqrt{\frac{1}{4\pi}} (35\cos^4\theta - 30\cos^2\theta + 3)\) | \(\frac38\sqrt{\frac{5}{\pi}} (7\cos^3\theta - 3\cos\theta) \sin\theta e^{i\phi} \) | \(\frac38\sqrt{\frac{5}{2\pi}} (7\cos^2\theta - 1) \sin^2\theta e^{i2\phi} \) | \(\frac38\sqrt{\frac{35}{\pi}} \cos\theta \sin^3\theta e^{i3\phi} \) | \(\frac38\sqrt{\frac{35}{8\pi}} \sin^4\theta e^{i4\phi} \) |
อาจเรียกชื่อตามแกนโดย \(z = \cos\theta\) และค่า l มีชื่อที่ตั้งขึ้นจากการสังเกตเส้นสเปกตรัมของไฮโดรเจนโดยบาวเมอร์ในปี 1885
| l\m | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 0: sharp | s | - | - | - |
| 1: principal | pz | px, py | - | - |
| 2: diffuse | dzz | dxz, dyz | dxy, dxx-yy | - |
| 3: fundamental | fzzz | fxzz, fyzz | fxyz, f(xx-yy)z | fxxx, fyyy |
วาดกราฟของ \(\mathrm{Re}[Y_l^m(\theta,\phi)]\) ได้ดังนี้ [py]
