พหุนามลาแกร์เป็นคำตอบของสมการลาแกร์ (Laguerre equation) \[ 0 = x \frac{d^2 y}{dx^2} + (b+1-x)\frac{dy}{dx} + cy \] ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการแก้สมการเชรอดิงเจอร์ของอะตอมของไฮโดรเจน
สมการเชรอดิงเจอร์ของอะตอมของไฮโดรเจน \[ E\psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \bigg( \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \Big( r^2 \frac{\partial \psi}{\partial r} \Big) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \Big( \sin\theta \frac{\partial \psi}{\partial \theta} \Big) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta}\frac{\partial^2 \psi}{\partial \phi^2} \bigg) - \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 r} \psi \]
พจน์แนวรัศมี ใช้หน่วยของรัศมีเป็นรัศมีของบอหร์
\[ a_0 := \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{mq^2} \approx 0.0529 \ \mathrm{nm} \]
และใช้หน่วยของพลังงานเป็นฮาทรี
\[ E_h := \frac{\hbar^2}{m a_0^2} = m \Big(\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0\hbar}\Big)^2 \approx 27.21 \ \mathrm{eV} \]
ใช้ \(a_0^2\) คูณจะได้
\[ 0=\frac{a_0^2}{R r^2} \frac{d}{dr} \Big( r^2 \frac{dR}{dr} \Big)
- l(l+1) \frac{a_0^2}{r^2} + \frac{2a_0}{r} + 2\frac{ma_0^2}{\hbar^2} E \]
ให้ \(r \rightarrow r/a_0\) และ \(E \rightarrow E/E_h \) จะได้
\[ 0 = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr} \Big( r^2 \frac{dR}{dr} \Big)
- l(l+1) \frac{R}{r^2} + 2 \frac{R}{r} + 2E R \]
พิจารณากรณี \(r\to\infty\) สมการจะเหลือ
\[ 0 = \frac{d^2R_\infty}{dr^2} + 2ER_\infty \]
ได้คำตอบเป็น
\[ R_\infty(r) = e^{-kr}, k := \sqrt{-2E} \]
ในกรณีที่ \(E\geq0\) จะได้คำตอบเป็นคลื่นที่ทุกตำแหน่ง \(r\) นั่นคืออิเล็กตรอนไม่อยู่รอบโปรตอน
ในกรณีที่ \(E\lt0\) อิเล็กตรอนจะอยู่ใกล้กับโปรตอน
ใช้คำตอบนี้จัดรูปสมการโดย
\[ R(r) := e^{-kr} f(r) \]
จะได้อนุพันธ์
\[\begin{align}
\frac{dR}{dr} &= -ke^{-kr} f + e^{-kr}\frac{df}{dr} \\
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\Big(r^2 \frac{dR}{dr}\Big)
&= \frac{d^2R}{dr^2} + \frac{2}{r} \frac{dR}{dr} \\
&= -2E e^{-kr} f - 2k e^{-kr} \frac{df}{dr} + e^{-kr} \frac{d^2f}{dr^2} - \frac{2k e^{-kr}}{r} f + \frac{2 e^{-kr}}{r}\frac{df}{dr} \\
&= e^{-kr} \Big( \frac{d^2f}{dr^2} - 2(k-\frac1r) \frac{df}{dr} - 2Ef - \frac{2k}{r}f \Big)
\end{align}\]
แทนค่าลงในสมการ จะได้
\[ 0 = \frac{d^2f}{dr^2} -2(k - \frac1r) \frac{df}{dr} - 2k\frac{f}{r} - l(l+1) \frac{f}{r^2} + 2\frac{f}{r} \]
เพื่อกำจัดพจน์ \(r^{-2}\) ให้ \[ f := r^l g \] อนุพันธ์ \[ \frac{df}{dr} = r^l \Big(\frac{l}{r} g + \frac{dg}{dr}\Big) \] \[ \frac{d^2f}{dr^2} = r^l \Big(\frac{l(l-1)}{r^2} g + 2\frac{l}{r} \frac{dg}{dr} + \frac{d^2g}{dr^2} \Big) \] จะได้ \[ 0 = \frac{d^2g}{dr^2} + 2\frac{l}{r} \frac{dg}{dr} + \frac{l(l-1)}{r^2} g - 2(k-\frac1r) \Big(\frac{l}{r} g + \frac{dg}{dr}\Big) - 2k\frac{g}{r} - \frac{l(l-1)}{r^2}g - 2\frac{l}{r^2}g + 2\frac{g}{r} \] \[ 0 = \frac{d^2g}{dr^2} + 2(\frac{l+1}{r}-k)\frac{dg}{dr} - \frac{2(kl + k - 1)}{r}g \] \[ 0 = \frac{r}{2k} \frac{d^2g}{dr^2} + (2l+2 - 2kr)\frac{1}{2k}\frac{dg}{dr} - (l+1-1/k) g \] ให้ \( u := 2kr \) จะได้ \[ 0 = u \frac{d^2g}{du^2} + \big((2l+1) + 1 -u) \frac{dg}{du} + (1/k-l-1) g \]
สมการนี้เรียกว่าสมการลาแกร์ \[ 0 = x \frac{d^2 y}{dx^2} + (b+1-x)\frac{dy}{dx} + cy \] โดย \[ b:= 2l+1, c:= 1/k-l-1 \] แทนค่าคำตอบเป็นพหุนาม \[ y = \sum_{p=0}^\infty a_p x^p \] จะได้ \[ 0 = \sum_{p=0}^\infty p(p+1) a_{p+1} x^n + (b+1) \sum_{p=0}^\infty (p+1) a_{p+1} x^n - \sum_{p=0}^\infty p a_p x^p + c \sum_{p=0}^\infty a_p x^p \] เนื่องจากอีกข้างหนึ่งของสมการเป็นศูนย์ สัมประสิทธิ์ทุกตัวต้องมีค่าเป็นศูนย์ \[ 0 = (p+b+1)(p+1)a_{p+1} - (p-c) a_p \] หรือ \[ a_{p+1} = \frac{p-c}{(p+1+b)(p+1)} a_p \] เพื่อที่จะให้อนุกรมลู่เข้า \[ c \in \mathbb{N} \] นั่นคือ \(c\) ต้องเป็นจำนวนนับ ส่งผลให้ ค่า \(1/k\) ต้องเป็นจำนวนนับตั้งแต่ 1 ขึ้นไป \[ 1/k = n \in \mathbb{N}-0 \] และ \[ l \leq n-1 \]
พหุนามลาแกร์บางค่า โดยเริ่มจาก \(a_0=1\)
| n | l | c=n-l-1 | b=2l+1 | \(L_c^b(x)\) |
| 1 | 0 | 0 | 1 | \(1\) |
| 2 | 0 | 1 | 1 | \(1-\frac12x\) |
| 2 | 1 | 0 | 3 | \(1\) |
| 3 | 0 | 2 | 1 | \(1-x+\frac16x^2\) |
| 3 | 1 | 1 | 3 | \(1-\frac14x\) |
| 3 | 2 | 0 | 5 | \(1\) |
| 4 | 0 | 3 | 1 | \(1-\frac32x+\frac12x^2-\frac{1}{24}x^3\) |
| 4 | 1 | 2 | 3 | \(1-\frac12x+\frac{1}{20}x^2\) |
| 4 | 2 | 1 | 5 | \(1-\frac16x\) |
| 4 | 3 | 0 | 7 | \(1\) |
| 5 | 0 | 4 | 1 | \(1-2x+x^2-\frac16x^3+\frac{1}{120}x^4\) |
| 5 | 1 | 3 | 3 | \(1-\frac34x+\frac{3}{20}x^2-\frac{1}{120}x^3\) |
| 5 | 2 | 2 | 5 | \(1-\frac13x+\frac{1}{42}x^2\) |
| 5 | 3 | 1 | 7 | \(1-\frac18x\) |
| 5 | 4 | 0 | 9 | \(1\) |
จากข้างต้น สรุปรวมได้คำตอบของพจน์ในแนวรัศมีเป็น \[ R(r) = N e^{-r/na_0} \big(\frac{r}{a_0}\big)^l L_{n-l-1}^{2l+1} \big( \frac{2r}{na_0} \big) \] โดยพลังงาน \[ E = -\frac{E_h}{2n^2} \] \[ n \in \mathbb{N}-0 \] \[ l \leq n-1 \] และ \(N\) สอดคล้องกับเงื่อนไขปกติ \[ 1 = \int_0^\infty |R(r)|^2 r^2 dr \]