*เรื่องนอกกรอบ: เรื่องนี้อยู่นอกกรอบของสารานุกรมนี้ จะมีข้อมูลพื้นฐานเพียงบางส่วนเท่านั้น
สัมพัทธภาพพิเศษ เป็นพื้นฐานการคำนวณกลศาสตร์ ภายใต้ระบบลอเรนเซียน (Lorentzian transformation) ที่อยู่บนพื้นฐานว่าอัตราเร็วของแสงคงที่ในทุกกรอบอ้างอิงและเวลาเป็นสิ่งสัมพัทธ์ ต่างจากระบบกาลิเลียน (Galilean transformation) ที่เวลาดำเนินไปเท่ากันทุกกรอบอ้างอิง ส่งผลให้อัตราเร็วของแสงแตกต่างขัดกับความจริงที่ทดลองได้
จากสมการของแมกซ์เวลล์ในอวกาศ \[\begin{align} \nabla \cdot E &= 0 \\ \nabla \cdot B &= 0 \\ \nabla \times E &= -\partial_t B \\ \nabla \times B &= \mu_0 \epsilon_0 \partial_t E \end{align}\] จะได้ \[\begin{align} \nabla \times \nabla \times E &= -\mu_0\epsilon_0 \partial_t^2 E \\ \nabla (\nabla \cdot E) - \nabla^2 E &= -\mu_0\epsilon_0 \partial_t^2 E \\ 0 &= (\nabla^2 - \mu_0\epsilon_0 \partial_t^2) E \end{align}\] ได้สมการคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่แผ่ออกไปด้วยอัตราเร็ว \[ c := 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0} \] คงที่ ไม่ขึ้นกับกรอบอ้างอิงที่มีความเร็ว
สอดคล้องจากการทดลองของมิเคลสันและมอเลย์ (Michelson-Morley experiment) ในปี 1887 ซึ่งไม่ว่าโลกจะเคลื่อนที่ทิศทางใด แสงก็ยังมีอัตราเร็วเท่าเดิม แสดงว่าสำหรับวัตถุหรือกรอบอ้างอิงที่มีความเร็วไม่น้อยเทียบกับแสง การคำนวณความเร็วแบบนิวตัน จะมีความคลาดเคลื่อน
ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ พิจารณากรณีพิเศษที่กรอบอ้างอิงไม่มีความเร่ง โดยอัตราเร็วของแสงคงที่ในทุกกรอบ
ต่างจากระบบกาลิเลียนที่เวลาดำเนินไปคงที่อย่างอิสระ และระยะทางในอวกาศไม่แปรเปลี่ยน (invariant) เป็น
\[ ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 \]
แต่ในระบบลอเรนเซียน ระยะทางในกาลอวกาศที่ไม่แปรเปลี่ยน เป็น
\[ ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 \]
นั่นคือ ทุกกรอบอ้างอิงจะยังวัดอัตราเร็วของแสงได้ \(c\) เท่ากัน
ในระบบกาลิเลียน การแปลงกรอบอ้างอิงที่มีความเร็วสัมพัทธ์ \(v\) จะเป็น \[\begin{bmatrix} x' \\ t' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -v \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x-vt \\ t \end{bmatrix}\] แต่ในระบบลอเรนเซียน การแปลงกรอบอ้างอิงได้เวลาที่ต่างกัน \[\begin{bmatrix} x' \\ ct' \end{bmatrix} = \gamma\begin{bmatrix} 1 & -v/c \\ -v/c & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma(x - vt/c) \\ \gamma(ct - vx/c) \end{bmatrix}\] โดย \[ \gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2} \]
ส่งผลให้โมเมนตัมและพลังงานเขียนได้เป็น \[ p = \gamma m v \approx mv + \frac12 m v^3/c^2 + O(v^5) \] \[ E = \gamma m c^2 \approx mc^2 + \frac12mv^2 + \frac38 m v^4/c^2 + O(v^6) \] ซึ่งเหมือนกับกาลิเลียนหากประมาณ \(v \ll c\)
แทนที่จะพิจารณาเวลาแยกจากอวกาศ จึงพิจารณากาลอวกาศ 4 มิติไปพร้อมกัน \[ x = (ct,x,y,z) \] \[ dx^2 = \eta_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu \] \[ \mu,\nu = 0,1,2,3 \] \[ \eta = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}\] \[ p = (E/c, p_x, p_y, p_z) \]
ความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานและโมเมนตัมเป็น
\[ E^2 - p^2 c^2 = m^2 c^4 \]
ในทำนองเดียวกัน จะเขียนสมการคลื่นคล้ายกับสมการเชอร์ดิงเจอร์ได้ว่า
\[ -\frac{\hbar^2}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi + \hbar^2 \nabla^2 \psi = m^2 c^2 \psi \]
สมการมีชื่อเรียกว่า ไคลน์-กอร์ดอน (Klein-Gordon equation) แต่สมการนี้ให้ความหนาแน่นความน่าจะเป็นติดลบได้
จัดรูปให้อยู่ในอนุพันธ์อันดับหนึ่ง โดย
\[ (\frac{i\hbar}{c}\partial_t + i \hbar \sigma \cdot \nabla) (\frac{i\hbar}{c}\partial_t - i \hbar \sigma \cdot \nabla) \psi = (mc)^2 \psi \]
หรือ
\[ i\hbar(\frac{1}{c}\partial_t \pm \sigma \cdot \nabla) \psi = mc \psi \]
โดย \(\sigma\) เป็นเมทริกซ์ของเพาลี (Pauli matrices) ขนาด 2x2
หากพิจารณารวมกัน โดยใช้เมทริกซ์ขนาด 4x4 จะได้สมการดิแรก (Dirac equation)
\[ i\hbar \gamma^\mu \partial_\mu \psi - mc \psi = 0 \]
โดยที่
\[ \frac{1}{c^2} \partial_t^2 - \partial_x^2 - \partial_y^2 - \partial_z^2
= (\frac{1}{c} \gamma^0 \partial_t + \gamma^1 \partial_x + \gamma^2 \partial_y + \gamma^3 \partial_z )^2 \]
นั่นคือ \(\gamma\) จะต้องมีคุณสมบัติคือ
\[ \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2\eta^{\mu\nu} \]
ซึ่งเขียนได้เป็นเมทริกซ์ 4x4
\[ \gamma^0 = I_4 = \begin{bmatrix}
I_2 & 0 \\
0 & -I_2 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{bmatrix}\]
\[ \gamma^1 = \begin{bmatrix}
0 & \sigma_x \\
-\sigma_x & 0 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\]
\[ \gamma^2 = \begin{bmatrix}
0 & \sigma_y \\
-\sigma_y & 0 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
-i & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\]
\[ \gamma^3 = \begin{bmatrix}
0 & \sigma_z \\
-\sigma_z & 0 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0
\end{bmatrix}\]
หากเลือกหน่วยให้ \( \hbar = c = 1\) สมการจะลดรูปเหลือ
\[ (i\gamma^\mu\partial_\mu - m ) \psi = 0 \]
ซึ่งเขียนกระจายเป็นเมทริกซ์ได้ว่า
\[
( \begin{bmatrix}
1& 0& 0& 0\\
0& 1& 0& 0\\
0& 0& -1& 0\\
0& 0& 0& -1
\end{bmatrix} i\partial_t
+ \begin{bmatrix}
0& 0& 0& 1\\
0& 0& 1& 0\\
0& -1& 0& 0\\
-1& 0& 0& 0
\end{bmatrix} i\partial_x
+ \begin{bmatrix}
0& 0& 0& -i\\
0& 0& i& 0\\
0& i& 0& 0\\
-i& 0& 0& 0
\end{bmatrix} i\partial_y
+ \begin{bmatrix}
0& 0& 1& 0\\
0& 0& 0& -1\\
-1& 0& 0& 0\\
0& 1& 0& 0
\end{bmatrix} i\partial_z
- \begin{bmatrix}
1& 0& 0& 0\\
0& 1& 0& 0\\
0& 0& 1& 0\\
0& 0& 0& 1
\end{bmatrix} m )\psi = 0
\]
\[\begin{bmatrix}
i\partial_t - m & 0 & i\partial_z & i\partial_x+\partial_y \\
0 & i\partial_t - m & i\partial_x-\partial_y & -i\partial_z \\
-i\partial_z & -i\partial_x-i\partial_y & -i\partial_t - m & 0 \\
-i\partial_x+\partial_y & i\partial_z & 0& -i\partial_t - m
\end{bmatrix}
\psi = 0
\]
คำตอบกรณีที่อนุภาคอยู่นิ่ง \(\partial_x = \partial_y = \partial_z = 0\)
จะได้
\[ \psi_1 = e^{-imt} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},
\psi_2 = e^{-imt} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},
\psi_3 = e^{+imt} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},
\psi_4 = e^{+imt} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \]
นั่นคือ มีคำตอบ 4 แบบ พลังงานเป็นบวก \(E = +m \) สำหรับอนุภาค หรือ ลบ \(E = -m \) สำหรับปฏิอนุภาค
กับ คุณสมบัติ"สปิน" 2 สถานะ สปินมือซ้าย \( \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\) หรือสปินมือขวา \( \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\)