*เรื่องนอกกรอบ: เรื่องนี้อยู่นอกกรอบของสารานุกรมนี้ จะมีข้อมูลพื้นฐานเพียงบางส่วนเท่านั้น
สัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์ ขยายกฎแรงโน้มถ่วงของนิวตัน ให้ใช้ได้ในกรณีที่ความเร็วสูงหรือพลังงานสูง
ทั้งนี้กฎแรงโน้มถ่วงของนิวตันนั้นมีความถูกต้องมาก เมื่อสนามโน้มถ่วงอ่อนเทียบกับรัศมีชวาสชายด์ (Schwarzschild radius) \[ r \gg r_s := \frac{2GM}{c^2} \] และความเร็วน้อยกว่าแสงมาก \[ v^2 \ll c^2 \]
กรณีตัวอย่างที่ใช้สัมพัทธภาพทั่วไปแทนกฎของนิวตัน เช่น
กฎแรงโน้มถ่วงของนิวตัน
\[ ma = -G \frac{mM}{r^2} \]
เขียนเป็นสนามโน้มถ่วง \(\Phi\) ได้ว่า
\[ ma = -m \nabla \Phi \]
\[ M = \int \rho dV \]
\[ \nabla^2 \Phi = 4 \pi G \rho \]
\[ \nabla^2 = \sum_i \partial_i \partial_i - \Gamma^k_{\ ii}\partial_k \]
กฎนี้ไม่ได้คำนึงถึงอัตราเร็วของแสง และความสัมพันธ์ระหว่างเวลากับอวกาศ
พจน์ \(\Gamma\) คือความเร่งเนื่องจากกรอบอ้างอิง
กฎแรงโน้มถ่วงของไอน์สไตน์ ในสัมพันธภาพทั่วไป มองว่าไม่มีสนามโน้มถ่วงที่ส่งผลต่อความเร่ง \(a\)
มวลทำให้กาลอวกาศโค้ง และอนุภาคเดินทางไปตามเส้นโค้ง \(g_{\mu\nu}\) นั้น
\[ R_{\mu\nu} - \frac12 R g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} \]
โดยเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัม (energy-momentum tensor)
\[ T_{\mu\nu} = \frac{1}{p_0} p_\mu p_\nu \]
\[ p_\mu = \rho (c, v_x, v_y, v_z) \]
เทนเซอร์ของริชชี (Ricci tensor)
\[ R_{\mu\nu} := R^{\rho}_{\ \mu\rho\nu} \]
เทนเซอร์ของรีมาน (Riemann tensor)
\[ R^{\sigma}_{\ \rho\mu\nu} :=
\partial_\mu \Gamma^{\sigma}_{\ \rho\nu}
-\partial_\nu \Gamma^{\sigma}_{\ \rho\mu}
+\Gamma^{\sigma}_{\ \lambda\mu} \Gamma^{\lambda}_{\ \rho\nu}
-\Gamma^{\sigma}_{\ \lambda\nu} \Gamma^{\lambda}_{\ \rho\mu} \]
ตัวย่อของคริสโตเฟล (Christoffel symbol)
\[ \Gamma_{\sigma\rho\mu} := \frac12 (g_{\sigma\rho,\mu} + g_{\sigma\mu,\rho} - g_{\mu\rho,\sigma}) \]
\[ \Gamma^\nu_{\ \rho\mu} = g^{\nu\sigma}\Gamma_{\sigma\rho\mu} \]
\[ g_{\mu\nu,\rho} = \partial_\rho g_{\mu\nu} \]
เมทริกบนกาลอวกาศที่โค้ง
\[ ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu \]
ใช้ \(g\) แทน \(\eta\) ในสัมพัทธภาพพิเศษที่กาลอวกาศราบ